Question

已知銳角三角形ABC中，向量

m

=（2-2sinB，cosB-sinB），

n

=（1+sinB，cosB+sinB），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大�。�
（2）當函數y=2sin²A+cos（

C-3A

2

）取最大值時，判斷三角形ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）利用向量的數量積運算，根據向量垂直建立方程，即可求得角B的大��；
（2）將函數解析式轉化為A的三角函數，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據B的度數，得出A的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出f（B）取得最大值時A的度數，可得出此時C的度數，進而判斷出此三角形為等邊三角形；

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，
即：（2-2sinB）（1+sinB）+（cosB-sinB）（cosB+sinB）=0，
化簡可得3-4sin²B=0，∴sinB=

3

2

，
∵三角形ABC是銳角三角形，
∴B=

π

3

．
（2）由（1）可知，B=

π

3

，函數y=2sin²A+cos（

C-3A

2

）=2sin²A+cos（

π-B-A-3A

2

）
=2sin²A+cos（

π

3

-2A）=-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A+1=sin（2A-

π

6

）+1．
當2A-

π

6

=

π

2

時，即A=

π

3

時，y有最大值，此時A=B=C，
∴△ABC是正三角形．

點評：考查了兩角和與差的三角函數，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角形形狀的判斷，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．