Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）在[0，7]上只有l(wèi)和3兩個(gè)零點(diǎn)，且y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在[0，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、402
• B、403
• C、404
• D、405

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）=f（10+x）即函數(shù)是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數(shù)，
∴f（2-x）=f（2-x），f （7+x）=f（7-x），
即f（x）關(guān)于x=2和x=7對稱．
∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），
∵f（7-x）=f（7+x），
∴f（4-x）=f（10+x） 
∴f（x）=f（10+x），
即10是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期
∵f（7-x）=f（7+x），
函數(shù)f（x）在[4，7]上無根．
∴函數(shù)f（x）在[7，10]上無根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有兩根為1和3，
f（x）=0的根為10n+1或10n+3的形式 
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202個(gè) 
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202個(gè) 
∴方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2013]上根的個(gè)數(shù)為404個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．