Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，S₉=81
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式
（Ⅱ）求$\frac{1}{{S}_{1}+1}$$+\frac{1}{{S}_{2}+2}$+…$+\frac{1}{{S}_{2017}+2017}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，由等差數(shù)列的求和公式，解方程可得公差，再由等差數(shù)列的通項公式，即可得到所求通項；
（Ⅱ）求得前n項和為S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，
a₁=1，S₉=81，即為9×1+$\frac{1}{2}$×9×8d=81，
解得d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）前n項和為S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）×2=n²，
則$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得$\frac{1}{{S}_{1}+1}$$+\frac{1}{{S}_{2}+2}$+…$+\frac{1}{{S}_{2017}+2017}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．