Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2sinx），$\overrightarrow$=（1，cosx-sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$
（1）求函數(shù)f（x）最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，若方程|f（x）|=m有兩個不等的實數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式，并化簡，從而求出函數(shù)的最小正周期即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（3）畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，結(jié)合圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由已知得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1+2sinx（cosx-sinx）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
交點：-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
故f（x）的遞增區(qū)間是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈z）；
（3）畫出函數(shù)y=|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的簡圖如下所示：
，
當(dāng)m∈（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）時，直線y=m和y=|f（x）|的圖象在[0，$\frac{π}{2}$]上有2個不同的交點，
故方程|f（x）|=m有2個不同的實數(shù)根，
故m的范圍是（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、周期問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．