Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n]是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且S_n=n²-2n
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，求滿足T_n＜20b_n時n的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，再由當(dāng)n=1時，b₁=S₁；當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，得b_n；
（2）運用等差數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，解不等式結(jié)合當(dāng)n＞13時，3n²-79n+120隨著n的增大而增大，即可得到所求n的最大值．

解答 解：（1）a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1．
當(dāng)n=1時，b₁=S₁=-1．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3．
當(dāng)n=1時上式也成立，
∴b_n=2n-3（n∈N^*）．
所以a_n=3n-1，b_n=2n-3（n∈N^*）；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n=$\frac{n（2+3n-1）}{2}$=$\frac{n（3n+1）}{2}$，
T_n＜20b_n時，即為$\frac{n（3n+1）}{2}$＜20（2n-3），
化為3n²-79n+120＜0，
當(dāng)n＞13時，3n²-79n+120隨著n的增大而增大，
n=24時，3n²-79n+120=-48＜0，
n=25時，3n²-79n+120=20＞0，
則n的最大值為24．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的遞推式的運用，以及數(shù)列不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．