Question

16．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點為A，右焦點為F（1，0），過點A且斜率為1的直線交橢圓E于另一點B，交y軸于點C，$\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{BC}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點F作直線l與橢圓E交于M，N兩點，連接MO（O為坐標原點）并延長交橢圓E于點Q，求△MNQ面積的最大值及取最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得B點坐標代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質，即可求得△MNQ面積的最大值及直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題知A（-a，0），C（0，a），故$B（-\frac{a}{7}，\frac{6a}{7}）$，
代入橢圓E的方程得$\frac{1}{49}+\frac{{36{a^2}}}{{49{b^2}}}=1$，又a²-b²=1，
故a²=4，b²=3，
橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由題知，直線l不與x軸重合，故可設l：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，
由Q與M關于原點對稱知，${S_{△MNQ}}=2{S_{△MON}}=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}$，
∵$\sqrt{{m^2}+1}≥1$，
∴$3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}≥4$，即S_△MNQ≤3，當且僅當m=0時等號成立，
∴△MNQ面積的最大值為3，此時直線l的方程為x=1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓方程位置關系，考查韋達定理，弦長公式，基本不等式的應用，屬于中檔題．