Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓m的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(

2

，0)，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₂距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，求m的值；
（Ⅲ）過(guò)橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷直線l₁，l₂的斜率之積是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)條件求出a=

3

，半焦距c=

2

，得到橢圓方程，進(jìn)而根據(jù)定義求出其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)得到k，m之間的關(guān)系；再結(jié)合l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，即可求m的值；
（Ⅲ）設(shè)出過(guò)點(diǎn)Q（x₀，y₀），與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程根據(jù)交點(diǎn)只有一個(gè)，得到關(guān)于k與點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的等式，最后再結(jié)合Q在伴橢圓上即可的出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：a=

3

，半焦距c=

2

則b=1橢圓C方程為

x2

3

+y2=1
“伴隨圓”方程為x²+y²=4…（4分）
（Ⅱ）則設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線l為：y=kx+m，
則

y=kx+m x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①…（6分）
又因?yàn)橹本�l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，
則有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化簡(jiǎn)得m²=2（k²+1）②…（8分）
聯(lián)立①②解得，k²=1，m²=4，
所以k=±1，m=-2（∵m＜0），則P（0，-2）…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)l₁，l₂都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（x₀，y₀），與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3[kx+（y₀-kx₀）]²-3=0…（12分）
即（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，
△=[6k（y₀-kx₀）]²-4•（1+3k²）[3（y₀-kx₀）²-3]=0，
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0，…（14分）
因?yàn)閤₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，
因?yàn)閘₁，l₂與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以k₁，k₂滿足方程（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即直線l₁，l₂的斜率之積是為定值-1…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在新定義下圓與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決新定義的題目，一定要理解定義，避免出錯(cuò)．