Question

10．已知函數(shù)f（x）=2（x+1），g（x）=x+lnx，A，B兩點分別為f（x），g（x）圖象上兩點，且始終滿足A，B兩點縱坐標(biāo)相等，則A，B兩點的最短距離為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，2（m+1）），B（n，n+lnn），由題意可得2（m+1）=n+lnn，即m=$\frac{n+lnn}{2}$-1，求得A，B的距離，由f（n）=lnn-n，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到所求距離的最小值．

解答 解：設(shè)A（m，2（m+1）），B（n，n+lnn），
由題意可得2（m+1）=n+lnn，
即m=$\frac{n+lnn}{2}$-1，
則|AB|=|m-n|=|$\frac{lnn-n}{2}$-1|，
由f（n）=lnn-n的導(dǎo)數(shù)為f′（n）=$\frac{1}{n}$-1，
當(dāng)n＞1時，f′（n）＜0，當(dāng)0＜n＜1時，f′（n）＞0，
即有n=1處取得最大值，且為-1，
即有l(wèi)nn-n≤-1，
則$\frac{lnn-n}{2}$-1≤-$\frac{3}{2}$，
即有|AB|≥$\frac{3}{2}$．
則A，B兩點的最短距離為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查兩點的距離公式，以及運算求解能力，屬于中檔題．