Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中常數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值點；

（Ⅱ）證明：對任意恒成立；

（Ⅲ）對于函數(shù)圖象上的不同兩點，如果在函數(shù)圖象上存在點（其中）,使得在點M處的切線∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．

試問：當時，對于函數(shù)圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”,并證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ） 為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點；

（Ⅱ） 詳見解析；

（Ⅲ）不存在“中值伴侶切線”，詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ））當時，，先求，再結合導數(shù)的符號研究函數(shù)的單調性并求出極值點；

（Ⅱ） 令 利用導數(shù)研究此函數(shù)的最值，證明即可；

（Ⅲ）當，，，假設函數(shù)存在“中值伴侶切線”.

設A,是曲線上的不同點，且，

利用斜率公式求出,由導數(shù)的幾何意義得處切線 的斜率，結合（Ⅱ）的結果可知方程無解.

試題解析：（Ⅰ）當時，

1分，

時

當或時，即在上單調遞增 2分，

當時，，在上單調遞減 3分，

為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點 4分

（Ⅱ）令 6分

所以在上遞增,（當且僅當x=1時等號成立），

即證： 對任意恒成立； 8分

（Ⅲ）當，，，假設函數(shù)存在“中值伴侶切線”.

設A,是曲線上的不同點，且，

則直線AB的斜率： 9分

曲線在點處的切線斜率： 10分

依題意：,即化簡得， 11分

即 設 ，上式化為, 12分

由（2）知時，恒成立.所以在內不存在,使得成立.

綜上所述，假設不成立.所以，函數(shù)不存在“中值伴侶切線” 14分

考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用.