Question

10．給出下列四個(gè)命題：
①如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；
②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
③已知曲線C：$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{9}}-\sqrt{\frac{{y}^{2}}{16}}=1$和兩定點(diǎn)E（-5，0），F(xiàn)（5，0），若P（x，y）是C上的動(dòng)點(diǎn)，則||PE|-|PF||≤6；
④函數(shù)y=2+log_ax的圖象可以有函數(shù)y=log_ax（其中a＞0且a≠1）的圖象通過伸縮變換得到．
上述命題中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行判斷．
②根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷．
③根據(jù)兩點(diǎn)間的距離以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行判斷．
④根據(jù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：①|(zhì)z+i|表示復(fù)平面上，點(diǎn)z與點(diǎn)B（0，-1）的距離，|z-i|表示復(fù)平面上，點(diǎn)Z與點(diǎn)A（0，1）的距離，
∴|z+i|+|z-i|=2，表示復(fù)平面上，點(diǎn)z與點(diǎn)A，B的距離之和等于2．則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是線段，故①錯(cuò)，
②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，若x＞1則lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；若0＜x＜1，則lnx+$\frac{1}{lnx}$≤-2，故②錯(cuò)誤，
設(shè)P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的動(dòng)點(diǎn)曲線$C：\sqrt{\frac{x^2}{9}}-\sqrt{\frac{y^2}{16}}=1$，則$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$（x＞0，y≥0）
又由于兩定點(diǎn)E（-5，0）、F（5，0），則P、E、F三點(diǎn)位置如圖示．

當(dāng)y=0時(shí)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，即||PE|-|PF||=||QE|-|QF||=6，
當(dāng)y≠0，||PE|-|PF||＜|EF|=10，當(dāng)故④錯(cuò)誤．
④函數(shù)y=2+log_ax的圖象可以有函數(shù)y=log_ax（其中a＞0且a≠1）的圖象通過上下平移得到的，故④錯(cuò)誤．
故錯(cuò)誤命題是①②③④，
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．