Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a，b的值，
（2）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，結(jié)合橢圓離心率求得c，再由隱含條件求得b；
（2）由（1）求得橢圓方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到過(guò)P的直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線l的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）由題設(shè)知a=2，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，故b²=4-3=1．
因此，a=2，b=1；
（2）由（1）可得，橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
設(shè)點(diǎn)P（m，0）（-2≤m≤2），點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂）．
若k=1，則直線l的方程為y=x-m．
聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．將y消去，化簡(jiǎn)得$\frac{5}{4}$x²-2mx+m²-1=0．
從而有，x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$，
因此，|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{8m}{5}）^{2}-4•\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$，
點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}$×|AB|×d=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5-{m}^{2}}$×|m|，
因此，${{S}^{2}}_{△OAB}=\frac{4}{25}$（ 5-m²）×m²≤$\frac{4}{25}$•（$\frac{5-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}$）²=1．
又-2≤m≤2，即m²∈[0，4]．
當(dāng)5-m²=m²，即m²=$\frac{5}{2}$，m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時(shí)，S_△OAB取得最大值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了再由與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．