Question

5．求證：?m∈R，使得數(shù)列{n^m}是等差數(shù)列，并求出所有m的值．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，利用公差相等，求出m的值即可．

解答 證明：設(shè)數(shù)列{a_n}，其通項(xiàng)為a_n=n^m，其中m∈R；
由{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則有
d=a₂-a₁=2^m-1…①
d=a₃-a₂=3^m-2^m…②
d=a₄-a₃=4^m-3^m…③
設(shè)2^m=x，3^m=y，則
由①②得x-1=y-x…④
由②③得y-x=x²-y…⑤
解④⑤得x=1或x=2，
即m=0或m=1
驗(yàn)證，當(dāng)m=1時(shí)，a_n=n，是等差數(shù)列；
當(dāng)m=0時(shí)，a_n=1，也是等差數(shù)列；
所以m=0或m=1時(shí)，{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了解方程組的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．