Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N．求證：|AN|•|BM|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x₀，y₀），可得x₀²+4y₀²=4，求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN|•|BM|為定值4．
方法二、設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運(yùn)用同角的平方關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN|•|BM|為定值4．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又△OAB的面積為1，可得$\frac{1}{2}$ab=1，
且a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
可得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）證法一：設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x₀，y₀），
可得x₀²+4y₀²=4，
直線PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
則|BM|=|1+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|；
直線PB：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
則|AN|=|2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$|．
可得|AN|•|BM|=|2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$|•|1+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|
=|$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）（{y}_{0}-1）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}+4+4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}}{2+{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}}$|
=|$\frac{8+4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}}{2+{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}}$|=4，
即有|AN|•|BM|為定值4．
證法二：設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直線PA：y=$\frac{sinθ}{2cosθ-2}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{sinθ}{cosθ-1}$，
則|BM|=|$\frac{sinθ+cosθ-1}{1-cosθ}$|；
直線PB：y=$\frac{sinθ-1}{2cosθ}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{2cosθ}{sinθ-1}$，
則|AN|=|$\frac{2sinθ+2cosθ-2}{1-sinθ}$|．
即有|AN|•|BM|=|$\frac{2sinθ+2cosθ-2}{1-sinθ}$|•|$\frac{sinθ+cosθ-1}{1-cosθ}$|
=2|$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ}{1+sinθcosθ-sinθ-cosθ}$|
=2|$\frac{2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ}{1+sinθcosθ-sinθ-cosθ}$|=4．
則|AN|•|BM|為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和基本量的關(guān)系，考查線段積的定值的求法，注意運(yùn)用直線方程和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化解在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．