Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y²=2px（p＞0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H．
（Ⅰ）求$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$；
（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P，N，H的坐標(biāo)，利用$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$=$\frac{|{y}_{H}|}{|{y}_{N}|}$，求$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$；
（Ⅱ）直線MH的方程為y=$\frac{p}{2t}$x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y²-4ty+4t²=0，利用判別式可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），
∵M(jìn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，
∴$\frac{{x}_{N}+{x}_{M}}{2}$=$\frac{{t}^{2}}{2p}$，$\frac{{y}_{N}+{y}_{M}}{2}$=t，
∴N（$\frac{{t}^{2}}{p}$，t），
∴ON的方程為y=$\frac{p}{t}$x，
與拋物線方程聯(lián)立，解得H（$\frac{2{t}^{2}}{p}$，2t）
∴$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$=$\frac{|{y}_{H}|}{|{y}_{N}|}$=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MH=$\frac{p}{2t}$，
∴直線MH的方程為y=$\frac{p}{2t}$x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y²-4ty+4t²=0，
∴△=16t²-4×4t²=0，
∴直線MH與C除點(diǎn)H外沒有其它公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵．