【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(1,10),且與直線x﹣2y﹣1=0相切.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn),定點(diǎn)Q(﹣3,﹣6),當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】
(1)解:圓心顯然在線段AB的垂直平分線y=6上,設(shè)圓心為(a,6),半徑為r,則:

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣6)2=r2,

由點(diǎn)B在圓上得:(1﹣a)2+(10﹣6)2=r2,

又圓C與直線x﹣2y﹣1=0,有r=

于是

解得: ,或

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣3)2+(y﹣6)2=20,或(x+7)2+(y﹣6)2=80


(2)解:設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),

由M為PQ的中點(diǎn),則 ,即:

又點(diǎn)P(x0,y0)在圓C上,

若圓的方程為(x﹣3)2+(y﹣6)2=20,有: ,

則(2x+3﹣3)2+(2y+6﹣6)2=20,整理得:x2+y2=5

此時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程為:x2+y2=5.

若圓的方程為(x+7)2+(y﹣6)2=80,有:

則(2x+3+7)2+(2y+6﹣6)2=80,整理得:(x+5)2+y2=20

此時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程為:(x+5)2+y2=20

綜上所述:點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=5,或(x+5)2+y2=20


【解析】(1)設(shè)所求圓的方程為(x﹣a)2+(y﹣6)2=r2 , 代入坐標(biāo),可得圓心與半徑,即可求圓C的方程;(2)分類討論,利用代入法,求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.

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