Question

1．已知μ（x）表示不小于x的最小整數，例如μ（0.2）=1．
（1）當x∈（$\frac{1}{2}$，2）時，求μ（x+log₂x）的取值的集合；
（2）如函數f（x）=$\frac{μ（x）}{x}-a（x＞0）$有且僅有2個零點，求實數a的取值范圍；
（3）設g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在區(qū)間（0，n]（n∈N⁺）上的值域為M_a，集合M_a中的元素個數為a_n，求證：${\;}_{n→+∞}^{lin}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當x∈（$\frac{1}{2}$，2）時，（x+log₂x）∈$（-\frac{1}{2}，3）$．即可得出μ（x+log₂x）的取值的集合．
（2）當x∈（0，1]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{1}{x}$∈[1，+∞）；當x∈（1，2]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{2}{x}$∈[1，2）；…，當x∈（n-1，n]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{n}{x}$∈[1，$\frac{n}{n-1}$）；
函數f（x）=$\frac{μ（x）}{x}-a（x＞0）$有且僅有2個零點，即可得出實數a的取值范圍是$[\frac{3}{2}，2）$．
（3）當x∈（n-1，n]時，μ（x）=n．可得xμ（x）=nx的取值范圍是（n²-n，n²]，進而g（x）在x∈（n-1，n]上的函數值的個數為n個．
可得M_n中元素的個數個數，可得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$．

解答 解：（1）當x∈（$\frac{1}{2}$，2）時，（x+log₂x）∈$（-\frac{1}{2}，3）$．
∴μ（x+log₂x）的取值的集合為{0，1，2，3}．
（2）當x∈（0，1]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{1}{x}$∈[1，+∞）；當x∈（1，2]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{2}{x}$∈[1，2）；
當x∈（2，3]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{3}{x}$∈[1，$\frac{3}{2}$）；…，
當x∈（n-1，n]時，$\frac{μ（x）}{x}$=$\frac{n}{x}$∈[1，$\frac{n}{n-1}$）；
函數f（x）=$\frac{μ（x）}{x}-a（x＞0）$有且僅有2個零點，
∴實數a的取值范圍是$[\frac{3}{2}，2）$．
（3）證明：當x∈（n-1，n]時，μ（x）=n．∴xμ（x）=nx的取值范圍是（n²-n，n²]，進而g（x）在x∈（n-1，n]上的函數值的個數為n個．
由于區(qū)間（n²-n，n²]與（（n+1）²-（n+1），（n+1）²]沒有共同的元素，
∴M_n中元素的個數為1+2+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了新定義、函數的性質、等差數列的前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．