Question

5．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-4，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （e，4]
• B． （4，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，4）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線斜率，即可得到結(jié)論．

解答 解作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
設(shè)y=kx與f（x）=e^x，在x＞0相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（m，n），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，
則在P（m，n）處的切線斜率k=f′（m）=e^m，
則切線方程為y-n=e^m（x-m），
即y=e^mx+e^m-me^m，
當(dāng)x=0，y=0時(shí)，e^m-me^m=0，
即1-m=0，m=1，此時(shí)切線斜率k=f′（m）=e，
∵e＜4，
∴當(dāng)a=e時(shí)，直線y=ex與f（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a＞e時(shí)，在x＞0上，f（x）與y=ax有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a=4時(shí)，y=ax與y=4x-4，平時(shí)，此時(shí)f（x）與y=ax有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a＞4時(shí)，此時(shí)f（x）與y=ax有3個(gè)交點(diǎn)，
綜上若f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，
則e＜a≤4，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，作出函數(shù)f（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．