【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=2AA1 , ∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:A1B∥平面ADC1;
(2)求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值;
(3)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.
【答案】
(1)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD.
由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).
又D為BC中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC中位線,
所以 A1B∥OD,
因?yàn)?OD平面ADC1,A1B平面ADC1,
所以 A1B∥平面ADC1.
(2)解:由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,
故BA,BC,BB1兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz.設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0).
所以 ,
設(shè)平面ADC1的法向量為 =(x,y,z),則有
所以 取y=1,得 =(2,1,﹣2).
平面ADC的法向量為 =(0,0,1).
由二面角C1﹣AD﹣C是銳角,得 = .
所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值為 .
(3)解:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.
因?yàn)镋在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設(shè)E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.
所以 , .
因?yàn)锳E與DC1成60°角,所以 .
即 ,解得λ=1,舍去λ=3.
所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1中點(diǎn)時(shí),AE與DC1成60°角.
【解析】(1)證明線面平行,可以利用線面平行的判定定理,只要證明 A1B∥OD即可;(2)可判斷BA,BC,BB1兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量,利用向量數(shù)量積可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值;(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E,根據(jù)AE與DC1成60°角,利用向量的數(shù)量積,可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足:a1= ,前n項(xiàng)和Sn= an ,
(1)寫出a2 , a3 , a4;
(2)猜出an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,DP⊥x軸,點(diǎn)M在DP的延長線上,且|DM|=2|DP|.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí).
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)T(0,t)作圓x2+y2=1的切線交曲線C于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一半徑為2的半圓形紙板裁剪成等腰梯形ABCD的形狀,下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點(diǎn)在圓周上,則所得梯形面積的最大值為( 。
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)λ>0,設(shè)函數(shù)f(x)=eλx﹣x.
(Ⅰ)當(dāng)λ=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求λ的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)t滿足f(log2t)+f(log2 )<2f(2),求f(t)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示的幾何體中, 為三棱柱,且,四邊形為平行四邊形, , .
(1)求證: ;
(2)若,求證: ;
(3)若,二面角的余弦值為若,求三棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x2+tx+2)(t為常數(shù),且﹣2 <t<2 ).
(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值(用t表示);
(2)是否存在不同的實(shí)數(shù)a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2).若存在,求出實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=aln(x2+1)+bx,g(x)=bx2+2ax+b,(a>0,b>0).已知方程g(x)=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根x1 , x2 .
(1)求證:x1+x2<﹣2;
(2)若實(shí)數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+3a﹣λb=0,求λ的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com