Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）先化簡(jiǎn)求得解析式f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先求2x-

π

3

的范圍，可得sin（2x-

π

3

）的范圍，從而可求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sin²x+sinxcosx=

3

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x    …（2分）
=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．…（4分）
函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．…（6分）
因?yàn)?

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z，．…（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，…（10分）
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閒（x）∈[0，1+

3

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．