Question

17．定義兩個平面向量的一種運算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ，其中θ表示兩向量的夾角，則關(guān)于平面向量上述運算的以下結(jié)論中：
①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=\overrightarrow b?\overrightarrow a$，
②l（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=（l$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$，
③若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=0，
④若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow$且l＞0，則（$\overline{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）．
其中恒成立的個數(shù)是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)由新定義，即可判斷①；首先運用新定義，再當(dāng)λ＜0時，即可判斷②；
由向量共線得到sinθ=0，即可判斷③；先由向量共線，再由新定義，即可判斷④．

解答 解：對于①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$，故恒成立，
對于②l（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=l|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ，（l$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$=|l|•|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ，當(dāng)l＜0時不成立，
對于③若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow$，則θ=0°或180°，則sinθ=0，故$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=0，故成立
對于④若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow$且l＞0，設(shè)$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為α，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為α
則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1+l）$\overrightarrow$，（$\overline{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（1+l）|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα，
（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα+|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα=l|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα+|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα=（1+l）|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα，故成立，
綜上可知：只有①③④恒成立
故選：C

點評 本題考查的知識點是平面向量的運算，合情推理，正確理解新定義及熟練掌握向量的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．