Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$在點(diǎn)（-1，f（-1））的切線方程為x+y+3=0．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）設(shè)g（x）=lnx，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求證：g（x）≥f（x）；
（III）已知0＜a＜b，求證：$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 （I）將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入切線方程，求出切點(diǎn)，得到關(guān)于a，b的等式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，將x=-1代入導(dǎo)函數(shù)，令得到的值等于切線的斜率-1；
（II）將要證的不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)h（x），求出其導(dǎo)函數(shù)，判斷出其符號(hào)，判斷出h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式；
（III）將要證的不等式變形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于$\frac{a}$的不等式，利用（II）得到的函數(shù)的單調(diào)性，得到恒成立的不等式，變形即得到要證的不等式．

解答 解：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程得y=-2，
∴f（-1）=$\frac{b-a}{2}$=-2，
化簡(jiǎn)得b-a=-4，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+1）-（ax+b）•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
f′（-1）=$\frac{2a+2（b-a）}{4}$=-1，
解得：a=2，b=-2．
∴f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）證明：lnx≥$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$在[1，+∞）上恒成立，
即為（x²+1）lnx≥2x-2，
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′（x）=2xlnx+x+$\frac{1}{x}$-2，
∵x≥1，
∴2xlnx≥0，x+$\frac{1}{x}$≥2，
即h'（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；                      
（Ⅲ）證明：∵0＜a＜b，
∴$\frac{a}$＞1，
由（Ⅱ）知有l(wèi)n$\frac{a}$＞$\frac{\frac{2b}{a}-2}{\frac{^{2}}{{a}^{2}}+1}$，
整理得：$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+^{2}}$．
∴當(dāng)0＜a＜b時(shí)，$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值；證明不等式恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，恒成立的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化最值問(wèn)題來(lái)求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問(wèn)題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．