Question

15．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{x+2y-4＜0}\\{x+2y-2＞0}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值范圍是（$\frac{4}{5}$，16）．

Answer 1

分析 通過(guò)目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²即表示以原點(diǎn)O為圓心與滿足約束條件的變量x、y所構(gòu)成的梯形ABCD相交的圓的半徑的平方，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，滿足約束條件的變量x、y所構(gòu)成的圖形為梯形ABCD，
其中A（2，0），B（4，0），C（0，2），D（0，1），
則目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²即表示以原點(diǎn)O為圓心與梯形ABCD相交的圓的半徑的平方，
∴z的最小值為原點(diǎn)O到直線AD的距離d的平方，
最大值為OB²=16，
∵$\frac{1}{2}•d•AD=\frac{1}{2}OA•OD$，
∴d=$\frac{2×1}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，即d²=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$＜z＜16，
故答案為：（$\frac{4}{5}$，16）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．