Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+1．
（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：

n+1

k=1

sin

kπ

2n+1

≥

3 2 (n+1)

4(2n+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,反證法與放縮法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，構(gòu)造函數(shù)F（x）=sinx-cosx+1-ax，然后，利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，從而得到相應(yīng)的范圍；
（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sinx-cosx+1．
設(shè)函數(shù)F（x）=sinx-cosx+1-ax，
∴F′（x）=cosx+sinx-a
∵f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，
∴函數(shù)F（x）=sinx-cosx+1-ax≥F（0）=0，
∴只需F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，
即：a≤（sinx+cosx）_min，
∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]，
∴x=π時，sinx+cosx的最小值為-1．
∴a≤-1．
∴a的取值范圍（-∞．-

2

]；
（Ⅱ）（用數(shù)學(xué)歸納法證明）
當(dāng)n=1時，sin

π

3

=

3

2

＞

2

2

，成立，
假設(shè)當(dāng)n=m，m∈N^•時成立，即
sin

π

3

+sin

2π

5

+sin

3π

7

+…+sin

mπ

2m+1

≥

3 2 (m+1)

4(2m+1)

，
∴當(dāng)n=m+1，m∈N^•時，
sin

π

3

+sin

2π

5

+sin

3π

7

+…+sin

mπ

2m+1

+sin

(m+1)π

2m+3

≥

3 2 (m+1)

4(2m+1)

+sin（

mπ

2m+1

+

π

2m+1

）≥

3 2 (m+2)

4(2m+3)

，
∴當(dāng)n=m+1，m∈N^•時成立，
∴原命題成立．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法等知識，屬于中檔題．