Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，則（　�。�

• A、函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，4]
• B、當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2
• C、關(guān)于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
• D、存在實(shí)數(shù)x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，對選項(xiàng)中的每一個(gè)問題進(jìn)行分析與思考，結(jié)合函數(shù)f（x）的解析式進(jìn)行解答，即可得出正確的選項(xiàng)．

解答： 解：根據(jù)題意，得：
對于A，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤|8x-12|≤4，∴0≤4-|8x-12|≤4，∴f（x）的值域?yàn)閇0，4]，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B，令n=1，由題意知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形是一個(gè)三角形，
其面積為S=

1

2

×1×4=2，∴B選項(xiàng)正確；
對于C，當(dāng)n=1時(shí)，方程為f（x）=

1

2

，此時(shí)方程的根不是2+4=6個(gè)，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，∵f（x）的值域?yàn)閇0，4]，∴不等式x₀f（x₀）＞6不成立，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)對選項(xiàng)中的每一個(gè)問題進(jìn)行分析與思考，以便做出正確的判斷，是易錯(cuò)題．