Question

6．扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中點，P是$\widehat{AB}$上的動點（含端點），若實數(shù)λ，μ滿足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OC}$+μ$\overrightarrow{OB}$，則λ+μ的取值范圍是（　�。�

• A． [1，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． [1，2]
• D． [1，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 建立直角坐標系，分別表示向量$\overrightarrow{OC}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），由題意可知，$\frac{λ}{2}$=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，λ+μ=2cosθ+sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+φ），即可求得其最大值，當P與B重合時，即可求得其最小值．

解答 解：以$\overrightarrow{OA}$所在的直線為x軸，以$\overrightarrow{OB}$所在的直線為y軸，建立直角坐標系，
A（2，0），B（0，2），C（1，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），
設(shè)P（x，y），P在圓x²+y²=4，
$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OC}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=（λ，0）+（0，2μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ}\\{y=2μ}\end{array}\right.$，0≤λ≤2，0≤μ≤1，
設(shè)$\frac{λ}{2}$=cosθ，u=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴λ=2cosθ，u=sinθ，
λ+μ=2cosθ+sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+φ），tanφ=2，
當θ+φ=$\frac{π}{2}$時，λ+μ的最大值為$\sqrt{5}$，
當P在B點時，μ=1，λ=0時λ+μ取最小值為1，
故選：D．

點評 本題考查向量的坐標表示，圓的參數(shù)方程，輔助角公式，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．