Question

14．對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．”請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)回答問題：
若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$（n∈R且n$≠-\frac{1}{2}$），則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=3024．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，則有g(shù)（x）=h（x）+m（x），對(duì)于函數(shù)h（x），由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對(duì)稱，即h（x）+h（1-x）=2，對(duì)于函數(shù)m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，分析可得m（x）+m（1-x）=1；進(jìn)而分析可得g（x）+g（1-x）=h（x）+m（x）+h（1-x）+m（1-x）=3；又由g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…+g（$\frac{1008}{2017}$）+g（$\frac{1009}{2017}$），計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，
則g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$=h（x）+m（x），
對(duì)于h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
則有h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，
令h″（x₀）=2x₀-1=0，解可得x₀=$\frac{1}{2}$，
h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$=1，即函數(shù)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$，1），
則有h（x）+h（1-x）=2；
對(duì)于函數(shù)m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，m（1-x）=$\frac{（1-x）+n}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-1-n}{2x-1}$，
m（x）+m（1-x）=1，
對(duì)于函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$=h（x）+m（x），必有g(shù)（x）+g（1-x）=h（x）+m（x）+h（1-x）+m（1-x）=3，
則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…+g（$\frac{1008}{2017}$）+g（$\frac{1009}{2017}$）=3×$\frac{2016}{2}$=3024；
故答案為：3024．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的求助，涉及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．