Question

15．若$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$，則在${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$的展開式中，x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項(xiàng)共有15項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分求得a的值，利用二項(xiàng)式定理，求得其通項(xiàng)公式，T_k+1=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，分別代入，當(dāng)k=6，k=12，k=18，x冪指數(shù)是整數(shù)，則x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項(xiàng)15項(xiàng)．

解答 解：$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$=2（${∫}_{-3}^{3}$xdx+${∫}_{-3}^{3}$丨x丨dx）=4${∫}_{0}^{3}$xdx=18，
${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）¹⁸，則T_k+1=${C}_{18}^{k}$（$\sqrt{x}$）^18-k（$\frac{1}{\root{3}{x}}$）^k，
=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，
則當(dāng)k=0，k=6，k=12，k=18，x冪指數(shù)是整數(shù)，
∴x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項(xiàng)共19-4=15，
故答案為：15．

點(diǎn)評 本題考查定積分的運(yùn)算，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．