Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E為BD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：CE∥平面AMD；
（Ⅱ）點(diǎn)E在線段DB上，且$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{EB}$，求三棱錐M-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，MF，CE，證明四邊形EFMC是平行四邊形得出CE∥MF，故而CE∥平面AMD；
（2）E為DB的中點(diǎn)，故V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{2}$V_B-ADM，證明BM⊥平面ADM，于是V_M-ADE=$\frac{1}{6}$S_△ADM•BM．

解答 證明：（1）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，MF，CE，則EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}$AB．
又MC∥AB且MC=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥MC，EF=MC，
∴四邊形EFMC是平行四邊形，
∴CE∥MF，
又CE?平面ADM，MF?平面ADM，
∴CE∥平面ADM．
（2）∵AD=DM=CM=BC=1，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AM²+BM²=AB²，即AM⊥BM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∴V_B-ADM=$\frac{1}{3}$S_△ADM•BM=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{EB}$，∴E為DB的中點(diǎn)，
∴V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{2}$V_B-ADM=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．