Question

設(shè)函數(shù)，.

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

 

Answer 1

（1）極小值；

（2）①當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，

②當(dāng)或時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn)，

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）要求的極小值，可以通過(guò)判斷其單調(diào)性從而求得其極小值，對(duì)求導(dǎo)，可知，再通過(guò)列表即可得當(dāng)時(shí)，取得極小值；（2）令，可得，因此要判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的草圖來(lái)判斷，同樣可以通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖：，通過(guò)列表可得到的單調(diào)性，作出的圖象，進(jìn)而可得

①當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，②當(dāng)或時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn)，

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719542064026986/SYS201411171954259528117622_DA/SYS201411171954259528117622_DA.022.png">，1分

，2分

令，，3分

		極小值

 

故當(dāng)時(shí)，取得極小值； 6分

（2），其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719542064026986/SYS201411171954259528117622_DA/SYS201411171954259528117622_DA.022.png">， 7分

令，得，8分

設(shè)，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719542064026986/SYS201411171954259528117622_DA/SYS201411171954259528117622_DA.022.png">.則的零點(diǎn)為與的交點(diǎn)， 9分

，

		極大值

 

故當(dāng)時(shí)，取得最大值，11分

作出的圖象，可得

①當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)， 12分

②當(dāng)或時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn)，13分

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 14分.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.