Question

1．已知橢圓C的兩焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點，且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項．
（1）求此橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+2，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若線段AB的中點橫坐標為1，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，可得2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，且|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，就可求出a，b的值，再判斷焦點所在坐標軸，就可得到橢圓方程．
（2）將直線方程代入橢圓，用設(shè)而不求韋達定理方法表示出中點坐標，此時代入已知AB中點的橫坐標即可求出實數(shù)k的值．

解答 解：（1）∵|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|
又∵|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，∴4c=2a，a=2c
∵橢圓的兩焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），∴c=1，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
又∵橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）將y=kx+2，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，消去y整理得（4k²+3）x²+16kx+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}△=（16k）^{2}-4×4×（4{k}^{2}+3）＞0…①\\{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{4{k}^{2}+3}，…②\end{array}\right.$，
由線段AB中點的橫坐標是1，得$-\frac{16k}{4{k}^{2}+3}=\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{-4±\sqrt{29}}{2}$，適合（1）．
實數(shù)k的值：$\frac{-4±\sqrt{29}}{2}$．

點評 本題考查直線的一般方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系求法．通過運用設(shè)而不求韋達定理方法，以及向量垂直關(guān)系的利用求解．考查對知識的綜合運用，屬于中檔題．