Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，證明：alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最小值，然后證明：對(duì)a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

；

解答： 解：∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln

x

4-x

．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值．a(chǎn)＞0，b＞0，
不妨設(shè)a+b=4，
則alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•

a+b

2

ln（

a+b

2

）=（a+b）ln

a+b

2

．
∴alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明方法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．