Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱(chēng)點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱(chēng)中心．”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱(chēng)中心為

 

．
（2）若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱(chēng)中心，
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對(duì)稱(chēng)中心為（1，2），
（2）依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1，
∴函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

對(duì)稱(chēng)中心為（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2013

2014

）=g（

2

2014

）+g（

2012

2014

）=…=2f（

1007

2014

）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=2013
故答案為：（1）（1，1）；（2）2013．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于中檔題．