Question

已知函數,其中為正實數,.
(I)若是的一個極值點,求的值;
(II)求的單調區(qū)間.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由為函數的一個極值點，得到便可求出的值，但在求得答案后注意處附近左、右兩側導數符號相反，即成為極值點的必要性；（Ⅱ）求含參函數的單調區(qū)間的求解，一般要對導數方程在函數的定義域內是否有根以及有根時根的大小進行分類討論，并結合導數值的正負來確定函數的單調區(qū)間.
試題解析：解:.
(I)因為是函數的一個極值點,
所以，因此,解得.
經檢驗，當時，是的一個極值點，故所求的值為.
4分
(II)
令得 ①
(i)當,即時,方程①兩根為
.
此時與的變化情況如下表:

		0	—	0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當時,的單調遞增區(qū)間為,; 的單調遞減區(qū)間為.
(ii)當時,即時,,
即,此時在上單調遞增.
所以當時,的單調遞增區(qū)間為.
13分