Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈R且a＞0，b＞0）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有最小值2，且f（x）的遞增區(qū)間是[$\frac{1}{2}$，+∞），試求a、b、c的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），
即$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$，
即-bx+c=-bc-c，
則c=-c，解得c=0，
則f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$=$\frac{a}$x+$\frac{1}{bx}$$≥2\sqrt{\frac{ax}•\frac{1}{bx}}=2\frac{\sqrt{a}}$，即最小值為$\frac{2\sqrt{a}}=2$，
則b=$\sqrt{a}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$，
由f′（x）≥0得$\frac{a}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$≥0，
即x²≥$\frac{1}{a}$，即x≥$\sqrt{\frac{1}{a}}$，即函數(shù)的遞增求解為[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞），
∵f（x）的遞增區(qū)間是[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴$\sqrt{\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，則b=$\sqrt{4}$=2，即a=4，b=2，c=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．