Question

5．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）若H為PD上一點，且AH⊥PD，EH與平面PAD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求二面角E-AF-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明AE⊥平面PAD即可．
（2）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進行求解即可．

解答 （1）證明：由AC=AB=BC，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（5分）（2）解：因為AH⊥PD，
由（1）知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
此時tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此AH=$\sqrt{2}$，
∵AD=2，∴∠ADH=45°，則PA=2．
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
過E作EO⊥AC于O，
則EO⊥平面PAC，
過O作OS⊥AF于S，連接ES
則∠ESO是二面角E-AF-C的平面角
在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=AE•cos 30°=$\frac{3}{2}$，
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=$\frac{SO}{SE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即所求二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．（12分）

點評 本題主要考查空間直線垂直的判斷以及空間二面角的求解和應(yīng)用，利用相應(yīng)的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．