Question

2．函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，令g（x）=-xlnx+x，求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴x-a＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時(shí)，若x＞a，則f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
若0＜x＜a，則f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）≥1?a≥-xlnx+x，
不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，
?a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，
令g（x）=-xlnx+x，g′（x）=-lnx≥0，x∈（0，1]，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a≥1，
∴a的范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．