Question

20．如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側棱與底面垂直，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面AMC₁；
（2）求平面A₁B₁M與平面AMC₁所成角的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結A₁C，交AC₁于點O，連結OM，則A₁B∥OM，由此能證明A₁B∥平面AMC₁．
（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A₁B₁M與平面AMC₁所成角的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連結A₁C，交AC₁于點O，連結OM，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點，
又∵M為BC中點，∴OM為△A₁BC中位線，
∴A₁B∥OM，
∵OM?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，
∴A₁B∥平面AMC₁．
解：（2）∵三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側棱與底面垂直，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中點，
∴以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，2），A₁（0，2，2），
則$\overrightarrow{AM}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（2，-2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（1，0，-2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（1，0，-2），
設平面AMC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，-1），
設平面A₁B₁M的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}M}=a-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4-1}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴平面A₁B₁M與平面AMC₁所成角的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．