Question

已知（x+

1

2 x

）ⁿ的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中的有理項；    
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）由條件先求出n=8，可得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，即可求得展開式中的有理項．
（2）由于第r+1項的系數(shù)為

C

r 8

•(

1

2

)r，檢驗可得當(dāng)r=2，r=3時，第r+1項的系數(shù)最大，由此可得展開式中系數(shù)最大的項．

解答： 解：（1）（x+

1

2 x

）ⁿ的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•xn-

3r

2

，
由題意可得 1+

C

2 n

•

1

4

=2×（

C

1 n

×

1

2

 ），解得 n=8，或 n=1（舍去），
故通項公式為T_r+1=

C

r 8

•(

1

2

)r•x8-

3r

2

．
令x的冪指數(shù)8-

3r

2

為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，
故展開式中的有理項分別為T₁=x⁸，T₃=7x⁵，T₅=

35

8

x²，T₇=

7

16

•x^-1，T₉=

1

256

x^-4．
（2）由于第r+1項的系數(shù)為

C

r 8

•(

1

2

)r，檢驗可得當(dāng)r=2，r=3時，第r+1項的系數(shù)最大．
故展開式中系數(shù)最大的項為T₃=7x⁵，T₄=7x

7

2

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．