Question

19．已知x，y∈R，向量$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$使二階矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{4}\end{array}]$的屬于特征值3的一個(gè)特征向量，求直線l：2x-y-3=0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線l′的方程．

Answer 1

分析 利用特征值與特征向量的定義，建立方程，求出a，b，即可求矩陣A，設(shè)l上點(diǎn)P（x，y）在A的作用下得到直線l′上一點(diǎn)P′（x′，y′），進(jìn)一步求得x′，y′與x，y的關(guān)系，代入直線方程得答案．

解答 解：由題意，$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3}\\{b+4=3}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=-1，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，
設(shè)l上點(diǎn)P（x，y）在A的作用下得到直線l′上一點(diǎn)P′（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+2y}\\{y′=-x+4y}\end{array}\right.$，∴x=$\frac{1}{3}$（2x′-y′），y=$\frac{1}{6}$（x′+y′），
代入直線l的方程，化簡(jiǎn)得7x′-5y′-18=0，
即直線l′的方程為7x-5y-18=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．