Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$的定義域?yàn)椋?1，1），滿足f（-x）=-f（x），且f（${\frac{1}{2}}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（x²-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件即可得出f（x）為奇函數(shù)，原點(diǎn)有定義，從而f（0）=0，得出b=0，再由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$即可求出a=1；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的-1＜x₁＜x₂＜1，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂），從而便得出f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得出f（x²-1）＜-f（x），由f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)即可得到不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}-1＜-x}\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）由題意知，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（0）=b=0，則$f（x）=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{\frac{a}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$；
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
又-1＜x₁＜x₂＜1；
∴${x_1}-{x_2}＜0，1-{x_1}{x_2}＞0，1+x_1^2＞0，1+x_2^2＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）由f（x²-1）+f（x）＜0得f（x²-1）＜-f（x）；
即f（x²-1）＜f（-x）；
由（2）知f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜{x^2}-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x^2}-1＜-x}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}＜x＜0，或0＜x＜\sqrt{2}}\\{-1＜x＜1}\\{\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}}\end{array}}\right.}\right.$$⇒-1＜x＜0或0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$；
∴原不等式的解集為$（{-1，0}）∪（{0，\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．