Question

已知數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)依次是0，-

1

3

，-

1

2

，-

3

5

，-

2

3

．正數(shù)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

2

（b_n+

n

bn

）．
（Ⅰ）寫(xiě)出符合條件的數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求S_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）在（I）、（II）的條件下，c₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)c_n=-

1

anS 2 n

，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且T_n＞log_m（1-2m）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）觀察數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)尋找規(guī)律，能求出an=

1-n

1+n

，(n∈N*)．
（II）由已知條件推導(dǎo)出S₁=1，Sn2-Sn-12=n，由此利用累加法能求出Sn=

n(n+1) 2

．
（III）由已知得c₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，cn=-

1

anSn2

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

-

1

n

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（I）∵數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)依次是0，-

1

3

，-

1

2

，-

3

5

，-

2

3

，
a1=

1-1

1+1

=0，
a2=

1-2

1+2

=-

1

3

，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1-4

1+4

=-

3

5

，
a5=

1-5

1+5

=-

2

3

，
∴an=

1-n

1+n

，(n∈N*)．…（2分）
（II）∵Sn=

1

2

(bn+

n

bn

)，b_n＞0，
∴b1=

1

2

(b1+

1

b1

)，解得b₁=1，即S₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，
∴2Sn=Sn-Sn-1+

n

Sn-Sn-1

.Sn+Sn-1=

n

Sn-Sn-1

，
即Sn2-Sn-12=n．…（5分）
∴Sn-12-Sn-22=n-1，Sn-22-Sn-32=n-2，…，S22-S12=2，
累加，得Sn2-S12=2+3+4+…+n．
∴Sn2=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
即Sn=

n(n+1) 2

．…..（8分）
（III）在（I）、（II）的條件下，c₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，cn=-

1

anSn2

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

-

1

n

)．
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=c₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn=c1+c2+c3+…+cn=2[1+(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n-1

-

1

n

)]=2(2-

1

n

)．…．（10分）
∵T_n＞log_m（1-2m）恒成立，
即log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值．
顯然，T_n的最小值在n=1時(shí)取得，且最小值為2．
故有l(wèi)og_m（1-2m）＜2．…..（12分）
∴

0＜m＜1 1-2m＞0 1-2m＞m2

①或

m＞1 1-2m＞0 1-2m＜m2

②
解①得，0＜m＜

2

-1，不等式組②無(wú)解．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，

2

-1)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．