Question

某企業(yè)科研課題組計(jì)劃投資研發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)分析和預(yù)測(cè)，能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．企業(yè)擬制定方案對(duì)課題組進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金也不超過投資收益的20%，并用函數(shù)y=f（x）這一模型模擬獎(jiǎng)勵(lì)方案．
（Ⅰ）試用模擬函數(shù)y=f（x）的性質(zhì)表述獎(jiǎng)勵(lì)方案；
（Ⅱ）試分析下列兩個(gè)函數(shù)模型是否符合獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求？說明你的理由．（1）y=

x

120

+1； （2）y=4lgx-3．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數(shù)，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根據(jù)（I）去判斷，（1）對(duì)于函數(shù)模型f(x)=

x

120

+1，由一次函數(shù)的性質(zhì)研究f（x）≤9不成立．
（2）對(duì)于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究．

解答： 解：（Ⅰ）該獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：
①當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)； ②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．…（3分）
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)模型f(x)=

x

120

+1：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
則f(x)max=f(1000)=

1000

120

+1=

25

3

+1＞9，所以f（x）≤9不成立．
故該函數(shù)模型不符合要求．  …（6分）
對(duì)于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．      …（9分）
設(shè)g(x)=4lgx-3-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故該函數(shù)模型符合要求．
因此，兩個(gè)函數(shù)中只有第二個(gè)函數(shù)符合獎(jiǎng)勵(lì)方案要求．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實(shí)質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號(hào)化．