Question

16．若函數(shù)f（x）=x²+ax+b，a、b∈R的兩個零點x₁、x₂滿足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），試求a+2b的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點的取值范圍，建立不等式關(guān)系，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+b，a、b∈R的兩個零點x₁、x₂滿足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-a+b＞0\\ 1+a+b＜0\\ 4+2a+b＜0\\ 16+4a+b＞0\end{array}\right.$，
作出可行域如圖：$\left\{\begin{array}{l}1-a+b=0\\ 16+4a+b=0\end{array}\right.$，可得A（-3，-4），∴a+2b=-11
$\left\{\begin{array}{l}1+a+b=0\\ 16+4a+b=0\end{array}\right.$，解得B（-5，4），∴a+2b=3，
即-11＜a+2b＜3．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點，利用一元二次函數(shù)和線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．