Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD點(diǎn)M，N分別是BC，PA的中點(diǎn)，且PA=PB=2．
（1）證明：MN∥平面PCD；
（2）證明：BC⊥平面AMN；
（3）求三棱錐N-AMC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)E，連接NE，CE，可證四邊形NECM為平行四邊形，即可證明MN∥平面PCD．
（2）根據(jù)四邊形ABCD為含有60°角的菱形，證出△ABC為正三角形，從而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，證出PA⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定定理，證出BC⊥面AMN．
（3）由NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，能求出三棱錐N-AMC的體積．

解答 解：（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，CE，
∵M(jìn)，N分別是BC，PA的中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD$\stackrel{∥}{=}$MC，
∴四邊形NECM為平行四邊形，
∴MN∥EC，EC?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，得AB=BC=CA
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN內(nèi)的相交直線，
∴BC⊥面AMN．
（3）解：∵∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2，
∴NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱錐N-AMC的體積：
V=$\frac{1}{3}$S_△AMC×NA=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題在四棱錐中證明線面垂直，著重考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)和空間線面平行與線面垂直的判定等知識(shí)，屬于中檔題．