（2010•唐山三模）在△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C．則該橢圓的離心率e=
2
2
2
2
．
分析：先根據(jù)△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，借助于正弦定理求出三角形ABC的三邊長，因?yàn)槿切蜛BC為橢圓中的焦點(diǎn)三角形，所以可用三邊長表示橢圓中的長軸長2a和焦距2c，再代入離心率公式即可．
解答：解：∵△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，
設(shè)三角形外接圓半徑為R，則有正弦定理得：
∴|AB|=2RsinC=2Rsin60°，|BC|=2RsinA=2Rsin15°，|AC|=2RsinB=2Rsin105°．
∵橢圓以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過A點(diǎn)，
∴2a=|AC|+|CB|，2c=|BA|
∴橢圓離心率e=
c
a
=
2c
2a
=
|BA|
|AC|+|BC|
=
2Rsin60°
2Rsin15°+2Rsin105°
=
sin60°
sin15°+sin105°
=
sin60°
sin(60°-45°)+sin(60°+45°)
=
sin60°
(sin60°cos45°-cos60°sin45°)+(sin60°cos45°+cos60°sin45°)
=
sin60°
2sin60°cos45°
=
1
2
=
2
2
．
故答案為：
2
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓中離心率的求法，關(guān)鍵是借助焦點(diǎn)三角形中的三邊關(guān)系求出a，c之間的關(guān)系，最后借助于兩角和與差的正弦求出結(jié)論．
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10
10
．

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