Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），CP與BD相交于點(diǎn)Q．
（1）若CP平分∠ACB，求證：AP=2QO．
（2）先按下列要求畫出相應(yīng)圖形，然后求解問題．①把線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，并連接AE．設(shè)線段BP的長度為x，△APE的面積為S．試求S與x的函數(shù)關(guān)系式；②求出S的最大值，判斷此時(shí)點(diǎn)P所在的位置．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OM∥AB交PC于點(diǎn)M，則∠COM=∠CAB，證明∠OMQ=∠OQM，即可得出結(jié)論；
（2）①分類討論求出AP，可得△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；②利用配方法可求函數(shù)的最值．

解答：（1）證明：過點(diǎn)O作OM∥AB交PC于點(diǎn)M，則∠COM=∠CAB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°，∴AP=2OM．
又∵∠1=∠2，∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD，
即∠OMQ=∠OQM．
∴OM=OQ，∴AP=2OQ．
（2）解：根據(jù)題意①ⅰ、當(dāng)PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，作EF⊥AB交BA延長線于點(diǎn)F，
則∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°．
又∠2+∠CPB=90°，∴∠3=∠2．
又PE由PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)形成，∴PE=PC，∴△EPF≌△CPB．
∴EF=BP=x，∴AP=1-x，
∴S_△APE=

1

2

AP•EF=

1

2

(1-x)x．
∴△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x（0＜x＜1）．
ⅱ、當(dāng)PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，作EG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，
則同理可得△EPG≌△CPB，EG=BP=x．
∴△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x．
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0＜x＜1）．
②由①知S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0＜x＜1）．
即S=-

1

2

(x-

1

2

)2+

1

8

，（0＜x＜1）．
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)S的值最大，最大值為

1

8

．
此時(shí)點(diǎn)P所在的位置是邊AB的中點(diǎn)處．

點(diǎn)評：本題考查三角形的全等，考查三角形面積的計(jì)算，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．