【題目】已知橢圓的離心率為，焦點分別為，點是橢圓上的點，面積的最大值是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，易求出四邊形的面積；當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合判別式和韋達定理，可表示出弦長，再求出點到直線的距離，根據和點在曲線上，求出的關系式，

最后根據，即可得出結果.

解：（Ⅰ）由解得 得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為．

當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點到直線的距離是

由得

因為點在曲線上，所以有整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．

練習冊系列答案
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【題目】祖暅是我國古代的偉大科學家，他在5世紀末提出祖暅：“冪勢即同，則積不容異”，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等. 祖暅原理常用來由已知幾何體的體積推導未知幾何體的體積，例如由圓錐和圓柱的的體積推導半球體的體積，其示意圖如圖所示，其中圖(1)是一個半徑為R的半球體，圖(2)是從圓柱中挖去一個圓錐所得到的幾何體. (圓柱和圓錐的底面半徑和高均為R)

利用類似的方法，可以計算拋物體的體積：在x-O-y坐標系中，設拋物線C的方程為y=1－x2 (－1x1)，將曲線C圍繞y軸旋轉，得到的旋轉體稱為拋物體. 利用祖暅原理可計算得該拋物體的體積為_________.

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附：相關系數(shù)公式，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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A. B. C. D.

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(1)求橢圓的標準方程；

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