Question

（1）設(shè)tanα=-

1

2

，計算sin²a-sinacosa-2cos²a；
（2）已知cos（75⁰+α）=

1

3

，α是第三象限的角，求cos（105⁰-α）+sin（α-105⁰）的值．

Answer 1

考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）原式分母看做“1”，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，把tanα的值代入計算即可求出值；
（2）根據(jù)（75°+α）+（105°-α）=180°，（75°+α）-（α-105°）=180°，利用誘導(dǎo)公式求出原式各項的值，代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）∵tanα=-

1

2

，
∴原式=

sin2α-sinαcosα-2cos2α

sin2α+cos2α

=

tan2a-tana-2

tan2a+1

=-1；
（2）∵（75°+α）+（105°-α）=180°，（75°+α）-（α-105°）=180°，
∴cos（105°-α）=cos[180°-（75°+α）]=-cos（75°+α）=-

1

3

，sin（α-105°）=sin[（75°+α）-180°]=-sin（75°+α），
∵cos（75°+α）=

1

3

，
∴sin²（75°+α）=1-cos²（75°+α）=

8

9

，
又∵α是第三象限的角，α+75°可能在第三、第四或y軸的負半軸上，且cos（75°+α）=

1

3

＞0，
∴α+75°在第四象限，
∴sin（α-105°）=sin[（75°+α）-180°]=-sin（75°+α）=

2 2

3

，
則cos（105°-α）+sin（α-105°）=

2 2 -1

3

．

點評：此題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．