生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：
測試指標 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
（Ⅰ）試分別估計元件A、元件B為正品的概率；
（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下：
（i）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率；
（ii）記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．
考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式
專題：概率與統(tǒng)計
分析：（Ⅰ）由題設條件能求出元件A為正品的概率和元件B為正品的概率．
（Ⅱ）（i）設生產(chǎn)的5件元件中正品件數(shù)為x，則有次品5-x件，由題意知100x-20（5-x）≥300，由此能求出生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率．
（ii）隨機變量X的所有取值為150，90，30，-30，分別求出P（X=150），P（X=90），P（X=30），P（X=-30），由此能求出X的分布列和EX．
解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題可知元件A為正品的概率為
40+32+8
100
=
4
5
，
元件B為正品的概率為
40+29+6
100
=
3
4
．…（2分）
（Ⅱ）（i）設生產(chǎn)的5件元件中正品件數(shù)為x，則有次品5-x件，
由題意知100x-20（5-x）≥300，
得到x=4，5，設“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元”為事件C，
則P（C）=
C
4
5
(
3
4
)4×
1
4
+
C
5
5
(
3
4
)5=
81
128
．…（6分）
（ii）隨機變量X的所有取值為150，90，30，-30，
則P（X=150）=
4
5
×
3
4
=
3
5
，
P（X=90）=
1
5
×
3
4
=
3
20
，
P（X=30）=
4
5
×
1
4
=
1
5
，
P（X=-30）=
1
5
×
1
4
=
1
20
，
所以X的分布列為：
X 150 90 30 -30
P
3
5
3
20
1
5
1
20
…（10分）
EX=150×
3
5
+90×
3
20
+30×
1
5
-30×
1
20
=108．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，P1、P2是雙曲線
x2
9
-
y2
4
=1上的點．P是線段P1P2的中點，直線OP、P1P2的斜率分別為k1、k2，若2≤k1≤4，則k2的取值范圍是（　　）
A、[
1
3
，
2
3
]
B、[
1
9
，
2
9
]
C、[
1
3
，
4
9
]
D、[
4
9
，
2
3
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，則A∩B=（　�。�
A、{x|x＜3}
B、{x|2≤x＜3}
C、{x|1＜x≤2}
D、{x|1＜x＜2}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
cosxsinx-
1
2
，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA=2c-
3
a，求f（B）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+
π
3
）．
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（2）在△ABC中，設角A，B的對邊分別為a，b，若B=2A，且b=2af（A-
π
6
），求角C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某高中畢業(yè)學年，在高校自主招生期間，把學生的平時成績按“百分制”折算，排出前n名學生，并對這n名學生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．
（Ⅰ）請在圖中補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若Q大學決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進行面試．
①若Q大學本次面試中有B、C、D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認可即面試成功，且面試結果相互獨立，已知甲同學已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為
1
2
、
1
3
，
1
5
，求甲同學面試成功的概率；
②若Q大學決定在這6名學生中隨機抽取3名學生接受考官B的面試，第3組中有ξ名學生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD：
（Ⅱ）求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
（Ⅲ）設E為側棱PC上異于端點的一點，
PE
=λ
PC
，試確定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為
6
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直三棱柱（側面垂直于底面的三棱柱）ABC-A1B1C1中，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA1記線段CD、A1B1的中心分別是P、E連接AE、BP，得到如圖所示的幾何體
（1）若AA1=a，圖甲給出了異面直線之間的距離的一種算法框圖（其中異面直線的公垂線是指兩異面直線都垂直且相交的直線）請利用這種方法求異面直線AE和BP之間的距離；
（2）若AA1=2，在線段A1P上是否存在一點F，使得平面AFB⊥平面A1BP？若存在，指出點F的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（3）若AA1=a，在線段A1C上有一M，過點M做垂直于平面A1ACC1的直線l，與直三棱柱ABC-A1B1C1的其他側面相交于N，過CM=x，MN=y，求函數(shù)y=f（x）的解析式，并據(jù)此求出線段MN的長度最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，給出關于f（x）的下列命題：
x -1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
①函數(shù)f（x）在[0，1]是減函數(shù)，在[1，2]是增函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）在x=2取到極小值；
③當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點；
④如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最小值為0．
其中所有正確命題是
 
（寫出正確命題的序號）．

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