Question

17．已知圓C₁：x²+y²-3x-3y+3=0，圓C₂：x²+y²-2x-2y=0．
（1）求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．
（2）求過兩圓交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）兩方程相減求兩圓的公共弦所在的直線方程，利用勾股定理公共弦長(zhǎng)．
（2）直線C₁C₂方程：x-y=0.$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$，交點(diǎn)為$（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}}）$，即為圓的圓心，半徑r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，即可求過兩圓交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．

解答 解：（1）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是圓C₁：x²+y²-3x-3y+3=0，圓C₂：x²+y²-2x-2y=0，聯(lián)立方程組的解，
兩方程相減得：x+y-3=0，
∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程，∴x+y-3=0為所求．
將圓C₂的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，（x-1）²+（y-1）²=2，∴圓心C₂（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
圓心C₂到直線AB的距離d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，|AB|=$\sqrt{6}$．
即兩圓的公共弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$．
（2）C₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），C₂（1，1），直線C₁C₂方程：x-y=0．
$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$，交點(diǎn)為$（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}}）$，
即為圓的圓心，半徑r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，
所以圓的方程是：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．